Zobacz książki o podobnej tematyce

Więcej informacji o Miniatury matematyczne 59 Pitagoras jego trojkaty i trojki

• Dane szczegółowe
• Opis
• Ulubione w innej kategorii

Za ten zakup dostaniesz 11 punkty

Opis

Na tegoroczny zeszyt miniatur dla liceow zlozyly sie cztery artykuly. Pobiezne przewertowanie ksiazeczki moze sprawic wrazenie, ze zbior zostal zdominowany przez geometrie: w tytule pierwszej miniatury mamy Pitagorasa i trojkaty, slowo geometria pojawia sie az dwukrotnie w tytule drugiej. Tytul ostatniej miniatury moze nie kojarzyc sie z geometria, ale wystarczy przerzucic kartki, aby zobaczyc wykresy podobne do tych, jakie pojawiaja sie na lekcjach geometrii. Jednak pierwsze wrazenie jest zludne. W rzeczywistosci material zawarty w miniaturach okazuje sie byc blizszy arytmetyce niz geometrii. Miniatura pierwsza jest polaczeniem swego rodzaju eseju o Pitagorasie z przedstawieniem trojek pitagorejskich. Geometrycznie rzecz biorac, szukamy wszystkich trojkatow prostokatnych o bokach calkowitych. Ale zarowno odpowiedz jak i metody sluzace jej uzasadnieniu sa typowo arytmetyczne. W istocie bowiem poszukujemy wszystkich calkowitych rozwiazan rownania Pitagorasa x2 + y2 = z2. Miniatura druga traktuje o geometrii kartki w kratke. Glownym obiektem zainteresowania sa tu tzw. wielokaty kratowe, czyli wielokaty, ktore mozna tak umiescic na kartce zeszytu w kratke, aby wierzcholki lezaly w punktach przeciecia linii tworzacych kratki. Autor stara sie przekonac Czytelnika, ze stanowia one pomost miedzy arytmetyka i geometria. Z jednej strony bowiem do ich analizy niezbedne sa metody arytmetyczne. Z drugiej strony, przy ich pomocy mozna pewne fakty czysto arytmetyczne udowodnic geometrycznie. Zauwazmy, ze trojkaty pitagorejskie z pierwszej miniatury sa pewnymi szczegolnymi trojkatami kratowymi. Z drugiej strony, rownanie Pitagorasa zadaje w przestrzeni pewien stozek i poszukiwanie calkowitych rozwiazan tego rownania to w istocie poszukiwanie punktow kratowych na tej powierzchni. Miniatura trzecia przenosi nas w swiat algebry. Uczac sie matematyki, z algebra spotykamy sie po raz pierwszy, gdy pewne konkretne, ale na razie nieznane liczby zastepujemy literami. Oswajajac sie z rachunkiem na "literkach", zaczynamy rozumiec wzory algebraiczne jako ogolne prawa rzadzace rachunkiem na liczbach. Poznajac nowe pojecia, piszemy analogiczne wzory, w ktorych litery moga zastepowac juz nie tylko liczby, ale rowniez wektory, funkcje itp. W kolejnym etapie - przynajmniej intuicyjnie - zaczynamy traktowac wyrazenia algebraiczne jako samoistne obiekty, na ktorych mozemy prowadzic operacje arytmetyczne. Autorka zaprasza Czytelnika do zrobienia nastepnego kroku, w ktorym symbolami zostaja oznaczone juz nie tylko obiekty dzialan, ale takze same dzialania. Pozwala to dostrzec analogie pomiedzy z pozoru calkiem roznymi "swiatami" ( na przyklad, co laczy dodawanie liczb rzeczywistych i skladanie funkcji wzajemnie jednoznacznych). Prowadzi to do abstrakcyjnych struktur algebraicznych (grup, pierscieni i cial). Pozornie miniatura ta calkowicie wylamuje sie z nurtu geometrycznego, ale w rzeczywistosci ma znacznie wiecej wspolnego z geometria, nizby to na pierwszy rzut oka wynikalo. Istotnym zrodlem idei prowadzacych do pojecia grupy byly grupy symetrii obiektow geometrycznych. Koda zamykajaca calosc jest zaledwie kilkustronicowa miniatura o twierdzeniu Erdosa i Mordella. Samo twierdzenie jest pieknym i elementarnym rezultatem z geometrii trojkata i az dziw bierze, ze musialo czekac na swoje odkrycie az do lat trzydziestych XX wieku. Niespodziewanie miniatura ta wpasowuje sie w ciag opowiadan o zwiazkach arytmetyki i geometrii, lecz tym razem lacznikiem sa nie rozwazane obiekty matematyczne, lecz ludzie. Z dwoch wymienionych matematykow Paul Erdos jest znacznie lepiej znany i to jemu autorzy poswiecili kilka slow. O zwiazkach autora dowodu, Louisa Mordella, z arytmetyka napomyka zaledwie przypis. Mordell interesowal sie punktami wymiernymi (czyli punktami o wspolrzednych wymiernych) na pewnych specjalnych krzywych zwanych krzywymi eliptycznymi. (Na marginesie, krzywe te wyrozniaja sie tym, ze na ich punktach mozna w naturalny sposob zadac strukture grupy . . . ). Pracujac nad tym zagadnieniem postawil hipoteze udowodniona w latach osiemdziesiatych XX w. przez Gerarda Faltingsa, ze na dostatecznie ogolnych krzywych liczba punktow wymiernych jest skonczona. Z kolei dowod Faltingsa utorowal droge dowodowi wielkiego twierdzenia Fermata, ktore mowi, ze jesli w rownaniu Pitagorasa zamienimy kwadraty wyzszymi potegami, to nowe rownanie nie bedzie mialo innych rozwiazan calkowitych jak oczywiste rozwiazanie zerowe. Ten powrot do Pitagorasa zamyka kolo opowiesci.

Szczegóły książki

Kategoria Książki po polsku Nauki przyrodnicze. Matematyka. Geografia Matematyka Geometria

• Pełny tytuł: Miniatury matematyczne 59 Pitagoras jego trojkaty i trojki
• Autor: Mentzen Mieczysław K., Mentzen Tomasz
• Język: Polski
• Oprawa: Miękka
• Liczba stron: 68
• EAN: 9788364660382
• ISBN: 8364660381
• ID: 16193888
• Wydawca: Aksjomat Piotr Nodzynski
• Waga: 158 g
• Wymiary: 240 × 165 mm
• Data wydania: January 2017

Ulubione w innej kategorii

---

---

---